北大杨文元在几何群论的Martin边界方面取得重要进展

近日，北京国际数学研究中心杨文元研究员与合作者的论文“Martin边界满射Floyd边界（Martin boundary covers Floyd boundary）”在顶尖数学期刊Inventiones mathematicae在线发表，研究发表于今年1月21日。

群上随机游走是一类特殊的马尔可夫链，与群的性质密切相关，是几何群论中近年来热门的研究问题之一。它的Martin边界是一个抽象的拓扑边界，可用来表示群上全体正调和函数。几何的或者组合的描述Martin边界因而是一个基本而（相比较泊松边界而言）困难的问题。

杨文元与合作者把双曲群中的Ancona不等式拓展到任意有限生成群上有限支撑的随机游走中，并籍此证明存在一个Martin边界到群的几何边界，称为Floyd边界之间的连续满射。该结果应用到相对双曲群上，得到该满射在至多可数个点外是单射，从而Martin边界归结为这可数点原像的刻画。相对双曲群是非常广泛的带有负曲率特征的群，包含体积有限负曲率流形的基本群等。

论文链接：

https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-020-01015-z