梅森素数当今异常火爆！为何人们对它如此着魔？

文/张晓明

据法国新闻社近日报道，世界上目前有190多个国家和地区近78万人，参加了一个名为“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目，并动用了超过200万核中央处理器(CPU)联网来寻找梅森素数(the Mersenne prime)——这在数学史上前所未有，在科学史上也极为罕见。

在当今科学探究中，梅森素数之所以异常火爆,与其自身强大的吸引力是分不开的。众所周知，素数是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数。2300年前，古希腊数学家欧几里德就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2^P-1”(其中指数P也是素数)的形式。这种特殊形式的素数，具有独特的性质和着魔般的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯和图灵)和无数业余数学爱好者对它进行探究。

17世纪的法国数学家、法兰西科学院的奠基人马林·梅森(Marin Mersenne)对“2^P-1”型的素数做过较为系统且深入的探究。为了纪念他，数学界在1897年瑞士苏黎世举行的首届国际数学家大会(ICM)上将这种素数命名为“梅森素数”。迄今为止，人类仅发现51个梅森素数。这种素数稀奇而迷人，故被人们称为“数海明珠”。

梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，其素性检验的难度就会很大;它的探究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。例如：1772年，享有“数学英雄”美誉的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是一个素数。它具有10位数字，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已;难怪法国大数学家拉普拉斯向他的学生们说：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。”在“手算笔录年代”，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。

电子计算机的出现，大大加快了探究梅森素数的步伐。例如：美国数学家拉斐尔•鲁宾逊将著名的“卢卡斯-莱默检验法”编译成计算机程序，使用大型计算机在1952年就找到了5个梅森素数：2^521-1、2^607-1、2^1279-1、2^2203-1和2^2281-1。又如：美国数学家唐纳德•吉里斯利用大型计算机在1963年6月2日晚上找到第23个梅森素数2^11213-1时，美国广播公司(ABC)中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息。而发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为了让世界各地的人们都分享这一成果，他们把所有从系里发出的信件都敲上了“2^11213-1是个素数”的邮戳。

随着指数P值的增大，每一个梅森素数的产生都艰辛无比;而科学家及业余研究者们仍乐此不疲，激烈竞争。例如：在1979年2月23日，当美国克雷研究公司的计算机专家戴维•史洛温斯基和哈利•纳尔逊宣布他们找到第26个梅森数2^23209-1时，有人告诉他们：在两星期前美国加州的高中生兰登•诺尔就已经给出了同样结果。为此他们又花了一个半月的时间，使用超级计算机找到了新的更大的梅森素数2^44497-1。

人们在寻找梅森素数的同时，对其重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。英、法、德、美等国的数学家曾先后给出过有关梅森素数分布的猜测，但都以近似表达式给出，与实际情况的接近程度均难如人意。中国数学家、语言学家周海中是这方面研究的领先者，他运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年率先给出了梅森素数分布的精确表达式;后来这一重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格指出：“周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法，其创新性还表现在揭示新的规律上。”这一猜想至今尚未被证明，看来人们今后仍须加倍努力。

分布式计算技术的出现使梅森素数的寻找工作如虎添翼。1996年初，美国数学家、程序设计师乔治•沃特曼编写了一个寻找梅森素数的计算程序，并把它放在网上供数学家和业余数学爱好者免费使用;它就是举世闻名的GIMPS项目，也是世界上第一个基于互联网的分布式计算项目。1997年，美国数学家、程序设计师斯科特库尔沃斯基建立了“素数网” (PrimeNet)，使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。现在人们只要从该项目下载开放源代码的Prime95或MPrime软件，就可以马上搜索梅森素数了。

为了激励人们寻找梅森素数和促进分布式计算技术发展，总部设在美国旧金山的“电子前沿基金会”(EFF)于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元。后面的奖金依次为：超过1000万位数，10万美元;超过1亿位数，15万美元;超过10亿位数，25万美元。事实上，绝大多数研究者参与该项目不是为了金钱而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。

1999年6月，住在美国密歇根州的数学爱好者那扬•哈吉拉特瓦拉通过GIMPS项目找到了第一个位数超过100万位的梅森素数2^6972593-1，他获得了5万美元的奖励。2008年8月，美国加州大学洛杉矶分校计算机专家埃德森•史密斯通过GIMPS项目找到了第一个超过1000万位的梅森素数2^43112609-1，他获得了10万美元的奖励，其发现被著名的《时代》周刊评为“2008年度50项最佳发明”之一;这一巨大素数有12978189位，如果用普通字号将它打印下来，其长度可超过50公里!

2018年12月，美国数学爱好者帕特里克·拉罗什通过GIMPS项目，成功发现第51个梅森素数——2^82589933-1;该素数有24862048位，是迄今为止人类发现的最大素数。目前，人们通过GIMPS项目已经找到17个梅森素数，其发现者来自美国(11个)、德国(2个)、英国(1个)、法国(1个)、挪威(1个)和加拿大(1个)。著名的《自然》杂志曾声称，GIMPS项目不仅会进一步激发人们对梅森素数探究的热情，而且会引起人们对分布式计算技术应用的高度重视。而美国数学家乔丹·埃伦伯格却认为，通过GIMPS项目“发现一个梅森素数就像是在干草堆里找一根针那样困难;这项发现在计算机工程领域的价值要远大于数学领域的价值。”

梅森素数的探究在当代已有了十分丰富的意义。寻找梅森素数是发现已知最大素数的最有效的途径，近百年来找到的“最大素数”几乎都是梅森素数。梅森素数的探究还推动了“数学皇后”——数论的研究，促进了计算技术、密码技术和程序设计技术的发展。另外，寻找梅森素数是测试计算机运算速度及其他功能的有力手段，如德国一名GIMPS项目参与者在2016年初发现：当Intel Skylake处理器在执行Prime95应用来搜索梅森素数时，运算到指数P=14942209就出现了触发系统死机的Bug。有关专家认为，这个Bug轻则导致程序冻结，重则引发系统崩溃。美国英特尔公司已承认存在该Bug，并做了修复。

许多科学家认为，梅森素数的探究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国数学协会主席、牛津大学教授马科斯•索托伊甚至认为，梅森素数的探究进展不但是人类智力发展在数学上的一种标志，也是整个科技发展的里程碑之一。

(作者单位：法国尼斯大学数学系)